Chap V 集成运算放大器#

1. 集成运算放大器(差动/差分放大电路)的内部结构#

• 静态分析: 假设两边电路完全对称, 那么就不会因为温度产生偏移电压, 因为我们接的输出是 \(u_o=u_{o1}-u_{o2}\), 而 \(u_{o1}\) 与 \(u_{o2}\) 本身因温度导致的电压漂移 \(\Delta u\) 在减法过程中被抵消了.
• 动态分析: 一分为二来看就是两个由三极管构成的放大电路, 显然有放大功能. 为方便集成为芯片分析起见, 我们记 \(A_d=\frac{u_o}{u_{i1}-u_{i2}}\). 另一面, 尽管理想情况下两边电路确实可以抵消温漂等带来的影响, 但实际上仍然会因为两个三极管不完全相同等因素导致即使 \(u_{i1} = u_{i2}\) 的情况下 \(u_0\) 也不为 \(0\). 我们记 \(A_c=\frac{u_o}{u_{i1}}=\frac{u_o}{u_{i2}}\)(在 \(u_{i1}=u_{i2}\) 条件下).

将上述电路集成到芯片, 即是集成运算放大器. 为了描述其性能(与理想器件有多接近), 我们定义共模抑制比 \(K_{CMR}=\frac{A_d}{A_c}\). 显然, 共模抑制比越大, 其理想性能越强. 集成得到的芯片的其他参数以及标志如下图所示.

2. 集成运算放大器的开环特性#

一般而言, 集成运算放大器的 \(A_0\) 都非常大, 接近百万级千万级放大倍数, 大部分使用场景下可以理想化为无穷大的放大倍数. 因此, 其特性曲线几乎可以描述为: 在输入电压大于 \(0\) 时输出电压达到饱和值(最大电压), 在输入电压小于 \(0\) 时输出电压达到负的饱和值(最小电压).

当然, 实际上在 \(0\) 附近有极小的一段线性区, 满足: \(u_o=A_0u_i\), 此时集成运算放大器是典型的电压控制电压的元件(并且恰好为线性). 因此, 为了尽可能地感知输入电压 \(u_i\), 一般而言 \(r_i\rightarrow \infty\); 为了尽可能地将电压输出, 一般而言 \(r_o\rightarrow 0\). 在线性区工作的条件下, 有以下两个重要特性:

换句话说, 在线性区域工作时, 满足虚短和虚断的两大特性 (虚断是因为 \(r_i\rightarrow \infty\), 所以都可用; 但是使用虚短的前提是差分输入情况下 \(u_i=u_{i+}-u_{i-}\approx0\) (即在 \(A_0\rightarrow \infty\) 时为了保证 \(u_o\) 与 \(u_i\) 成线性关系, 必须满足 \(u_+\approx u_-\)) 因此未在线性工作区就不能用虚短)

3. 负反馈条件下工作的集成运算放大器#

下面是有关负反馈调节中反馈系数计算的相关定义. 注意区分这里的 \(A_f\) 和 \(A_0\), 前者指的是在一定反馈电路条件下的放大系数. 换言之, 这里的 \(A_f\) 和反馈电路相关.

负反馈有四种类型, 分别是电压串联负反馈, 电压并联负反馈, 电流串联负反馈, 电流并联负反馈. 在下图中说明四者的区别方法.

为了满足一开始我们提到的要求, 即不止能稳定放大到某一倍数, 并且不会因为外部温度等因素产生较大干扰, 那么我们必须让闭环控制(即有这一节带有反馈电路的集成运放)达到深度负反馈的情况. 在此情况下, 电路的放大倍数由反馈电路决定, 几乎与集成运放的开环放大倍数无关. 证明如下:

考虑闭环放大倍数与开环放大倍数之间的关系:

将 \(\mathrm d A_0\) 乘到右边, 将 \(A_f\) 除到左边:

深度负反馈, 即 \(1+FA_0\gg 1\), 此时随着 \(A_0\) 变化(即开环放大倍数变化), \(A_f\) 几乎不变. 因此, 当闭环控制达到深度负反馈时, 电路的放大倍数由反馈电路决定, 与开环放大倍数无关.

另外补充一个"我不证明"的结论(孙晖老师语), 就是:

• 串联反馈使得输入电阻增大, 并联反馈使得输入电阻减小(决定是串联还是并联的关键在于输入端, 所以影响的是输入电阻. 串联之所以叫串联可能也是因为等效于多串了电阻, 并联之所以叫并联可能也是因为等效于多并了电阻吧...)
• 电压反馈使得输出电阻减小, 电流反馈使得输出电阻增大(前者没有在输出端外加电阻, 后者加了)

当然, 按照我们的设想, 输入电阻自然是越大越好, 输出电阻自然是越小越好. 因此, 我们更常用的电路就是电压串联负反馈电路. 为了让大家更深刻地理解这一点, 给出一个实例:

答案又臭又长, 计算量十分惊人, 这里简要给出思路:

最终的计算结果是, 我们发现等效后的输入电阻比原本单一集成运放的输入电阻还要大上几千倍, 输出电阻比原本单一集成运放的输出电阻还要小上几千倍, 放大倍数稳定在 \(10.99\), 我们据此知道了电压串联负反馈对单一集成运算放大器性能有着极其优越的正面影响.

4. 模拟信号运算中集成运算放大器的应用#

上面这类分析方法虽然精准, 但是实际操作中相当麻烦. 因此, 我们采用虚短, 虚断的方法来分析这一类电路.

4.1 同相比例运算电路#

以此电路为例分析. 首先虚短, 因此 \(u_-\approx u_+\). 进一步, 虚断, 故而 \(i_{u_i\rightarrow u_-}\approx 0\), 因此 \(u_b=R_b\cdot i_{u_i\rightarrow u_-}\approx 0\), 因此 \(u_-\approx u_+\approx u_i\). 还是因为 \(i_{u_i\rightarrow u_-}\approx 0\), 根据基尔霍夫方程电流关系式, 显然 \(i_f=i_R=\frac{u_--0}{R}=\frac{u_i}{R}\), 因此 \(u_o-u_-=i_f\cdot R_f=\frac{R_f}{R}u_i\), 因此 \(u_o=u_-+\frac{R_f}{R}u_i=(1+\frac{R_f}{R})u_i\).

即:

另外, 为了保证电路整体等效得到的集成运放仍然满足内部的两个三极管电路对称, 因此必须让同相输入端和反相输入端的外部电阻相等. 这里直接令 \(u_i=0\), 得到:

该种情况下的输入电阻:

此时的共模电压 \(u_c\) 满足:

4.2 反相比例运算电路#

与同相比例运算电路的分析思路类似, 这里简单说明. 根据虚短虚断原则, \(u_-=0\) (接地), 并且 \(i_-=0\), 根据基尔霍夫定律, 显然 \(\frac{u_i}{R}=-\frac{u_o}{R_f}\), 因此:

平衡电阻 \(R_b\) 值与同相比例运算电路的一致, 输入电阻计算:

此时共模电压 \(u_c\) 满足:

4.3 加法运算电路#

分析方法同电压并联负反馈的方式相同. 同样 \(u_-=0\), \(i_-=0\), 因此: \(i_f=\frac{u_{i1}}{R_1}+\frac{u_{i2}}{R_2}\). 因此, \(u_o=-R_f(\frac{u_{i1}}{R_1}+\frac{u_{i2}}{R_2})\). 特别地, 当 \(R_1=R_2=R\) 时:

当输入端加了更多输入电压时结果是一致的, 换言之, 那时候:

4.4 减法运算电路#

同上, 按照虚短虚断, \(u_-=u_+\), 且 \(i_{+-}=0\). 因此, 对于 \(u_{i2}\) 从 \(R_2\) 到 \(R_3\) 一路, 基尔霍夫方程解得: \(U_-=U_+=U_{R_2R_3}=\frac{R_3}{R_2+R_3}u_{i2}\), 因此 \(\frac{u_{i1}-u_-}{R_1}=\frac{u_--u_o}{R_f}\), 即:

最终解得:

特别地, 令 \(R_3=R_f\), \(R_1=R_2=R\), 化简得到:

4.5 基本混合运算电路#

上面几种都是最为基础的几种运算电路, 结构简单但是功能强大. 与数字电路中的组合逻辑电路一样, 将多个运算电路进行组合也可以实现许多复杂的计算, 下面举例说明.

4.5.1 ex1#

分析下面图中 \(u_{i1}\), \(u_{i2}\), \(u_o\) 之间的关系.

• 解法: 利用叠加定理, 分别求 \(u_{i1}\) 和 \(u_{i2}\) 对 \(u_o\) 的作用效果.

先单独分析 \(u_{i1}\) 作用效果(即 \(u_{i2}=0\)). 显然, 所在电路构成同相比例放大电路, 因此 \(u_{o1}=(1+\frac{R_1}{R_2})u_{i1}\). 下面又发现, 若以 \(u_{o1}\) 作为输入信号, 那么 \(u_{o1}-u_o\) 对应的第二级电路构成反相比例放大电路, 因此仅在 \(u_{i1}\) 作用下的 \(u_{o}=-\frac{R_2}{R_1}(1+\frac{R_1}{R_2})u_{i1}=-(\frac{R_2}{R_1}+1)u_{i1}\)

下面再单独分析 \(u_{i2}\) 作用效果. 此时因为 \(u_-=u_{i1}=0\), 因此 \(R_2\) 所在支路无电流, 而 \(I_{+-}\) 更没有电流, 因此 \(R_1\) 无分压, \(u_{o1}=0\), 相当于接地. 此时显然构成同相比例放大电路, 故而仅在 \(u_{i2}\) 作用下的 \(u_o=(\frac{R_2}{R_1}+1)u_{i2}\).

将二者叠加, 最终计算得到真正的输出电压:

4.5.2 ex2#

分析下面图中 \(u_{I1}\), \(u_{I2}\), \(u_{I3}\) 和 \(u_O\) 之间的关系

4.5.3 ex3#

分析下图中 \(u_{I1}\), \(u_{I2}\) 和 \(u_O\) 之间的关系

4.5.4 ex4#

除了 \(u_O\) 都是已知的, 求 \(u_O\).

4.5.5 ex5#

分别解算下面两图中的输出电压 \(u_O\).

4.5.6 ex6#

太过简单, 此处仅需知道: 集成运放电路(此处显然为减法运算电路)的输入电阻极大, 分析时直接忽略运算电路, 再计算 \(a\), \(b\) 处的电位, 当成输入电压放到运算电路中计算即可.

另外, 对于热敏电阻:

4.6 积分运算电路#

如上如所示, 这是一个最基础的积分运算电路. 同样虚短虚断进行分析, \(u_-=0\), 列 \(i_i=i_C\) :

积分化改造(从 \(t_0\) 时刻开始到 \(t_1\), 且已知 \(t_0\) 时刻的 \(u_C\)):

加上 \(u_C=0-u_o=-u_o\), 因此:

特别地, 若已知初始时刻电容不带电, 且输入 \(u_i\) 是直流信号, 那么 \(u_i(t)\) 是常数, \(u_C(t_0)=0\), 上述式子可以化简为:

另外, 更实际的模型是下面一种(考虑到电容本身带电阻)

此电路的输出结果如下, 证明很简单所以省略了:

4.7 微分运算电路#

对于此电路, 只要列: \(i_C=i_f\) :

即:

5. 模拟信号幅值比较中集成运算放大器的应用#

5.1 开环工作的比较器#

开环比较器本身结构和原理相当简单, 只需注意稳压二极管可以限制输出电压维持在某一水平, 避免烧毁接入 \(u_o\) 的电路.

5.2 滞回比较器#

本质上类似于电压保持器, 有记忆功能, 为正反馈电路. 例如, 当输入信号可以让输出达到正饱和阈值时, 输出的正饱和电压反馈到输入信号上, 使得输入信号进一步增强, 此时等效的输入信号就有输出的饱和电压和输入信号本身两个部分组成. 这个时候想要退到负饱和, 那么仅仅是让输入信号小于零就不够了, 需要让输入信号加上正饱和电压小于零才行. 换句话说, 如果已经控制输入让输出到达了那个值, 想要退回来就得付出更大的代价.

为了作出上面描述的 \(u_I-u_O\) 关系图, 我们先设 \(u_O\) 正饱和值为 \(u_{OH}\), 负饱和值为 \(u_{OL}\), 让 \(u_I\) 从 \(-\infty\) 变化到 \(+\infty\), 再让 \(u_I\) 从 \(+\infty\) 变化到 \(-\infty\):

为了方便讨论滞回比较器的物理特性, 我们定义三组参数以及计算关系:

5.2.1 滞回比较器应用实例#

分析下图中 \(u_{o1}\) 和 \(u_{o2}\) 的波形.

首先, \(A_2\) 是一个积分运算电路, \(A_1\) 是一个滞回比较器电路, \(A_1\) 的输出是 \(A_2\) 的输入, 而 \(A_2\) 的输出又是 \(A_1\) 的输入.

为了方便讨论, 我们不妨假定初始时刻 \(u_+\rightarrow 0^+\), 那么 \(u_{o1}=u_{D_Z}=U_Z\), 因此输入到右侧积分运算电路会慢慢累积让 \(u_{o2}\) 呈现为随时间线性减小, 之后反馈到 \(A_1\) 的正相输入端使得 \(u_+\) 不断减小, 最终达到 \(u_+<0\), 使得输出 \(u_{o1}\) 突然变成负饱和 \(-U_Z\), 再输入到 \(A_2\) 使得积分电路慢慢累积让 \(u_{o2}\) 呈现为随时间线性增大, 再反馈到 \(u_+\), 直到再次出现 \(u_+>0\), 进行下一场轮回.

上面电路的 \(u-t\) 图如下所示:

对于转折值 \(\frac{R_2}{R_1}U_Z\), 我们只需考虑 \(u_{o2}\) 到 \(U_Z\) 这一支路的分压关系.因为虚断, 因此 \(u_+\) 处不分流.再计算电流, 进一步计算分压, 即可确定 \(u_+\) 处关于 \(u_{o2}\) 的关系:

令 \(u_+=0\), 考虑正饱和(\(U_Z\))与负饱和(\(-U_Z\))两种情况, 即可求得转折点 \(-\frac{R_2}{R_1}U_Z\) 与 \(\frac{R_2}{R_1}U_Z\).

当然, 这里波的周期同样是可以求解的, 只需要考虑积分电路中时间和电压的线性关系即可. 这里不多赘述.

因此, \(u_{o1}\) 为方波(矩形波), \(u_{o2}\) 为三角波.

6. 综合练习#

对如图所示放大电路, 已知电容无初始储能. 则: (1), 若输入 \(u_i\) 已知, 求 \(u_o\); (2), 带入实际值简化表达式

首先, 这不是一道简单的题. \(I\) 组电路显然是反相加法电路, \(II\) 组电路显然是积分运算电路, \(III\) 组电路显然是反向比例运算电路. 对于此类"你中有我, 我中有你"的题目, 我们需要独立列出三个组件的输入-输出信号关系. 因此, 对于第 \(I\) 组:

对于第 \(II\) 组(注意! 题目中没有说 \(u_I\) 是直流信号! 因此这里不能拆开积分号):

对于第 \(III\) 组:

对 \(u_{o2}\) 与 \(u_{I3}\) 建立联系, 发现 \(R_7\gg R_6\), 因此可以将 \(R_7\) 视作开路, \(u_{I3}=\frac{R_6}{R_5+R_6}(u_{o}-0)=\frac{R_6}{R_5+R_6}u_{o}\).

联立四个方程组(为了方便直接将最后一个方程带入第三个, 化简为三个):

未知数有 \(u_{o1}\), \(u_{o3}\), \(u_o\), 将三个方程转化为一个仅含 \(u_o\) 的表达式:

这是个一阶线性常微分方程, 是可解的(但不用解, 没想到吧hhh)

最后代回一系列数值, 得到:

即:

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