Skip to content

Chap II 恒稳电流/磁场#

此部分内容的关键是(或者说自然过渡到此部分的关键), 意识到电场的来源是带电粒子, 而磁场的来源是带电粒子的运动.

1. 电流强度与电流密度#

所谓电流强度就是我们一般认为的电流(Electric Current, \(I\)), 电流密度(Electric Current Density, \(J\))则指的是单位面积下的电流强度, 二者关系为:

\[ J=\frac{\mathrm d I}{\mathrm d S} \]

2. 洛伦兹力#

高中时期学过, 这里用向量叉乘严格定义:

\[ F=q(v\times B) \]

与其他向量的叉乘一致, 遵循右手定则. 自然, 对于力的大小可以将上述表达式化简为:

\[ F=qvB\sin\theta \]

3. 毕奥-萨伐尔定律#

标量模式下的公式(需要自行判别方向):

\[ \mathrm d B=\frac{\mu_0}{4\pi}\frac{I\sin \theta}{r^2}\mathrm d l \]

上述公式物理量解释: \(\mu_0\) 为真空磁导率, 表示真空中磁场与电流的比例; \(I\) 为该电流元处的电流强度, \(\sin\theta\) 表示 \(\frac{l\times r}{|l||r|}\) (后面矢量模式的表达式可以清晰地表示这一点); \(r\) 为该电流元到所求磁场强度位置的距离; \(\mathrm dl\) 为电流元.

Note

注意, 电流元表示的是电流强度对应的一段线段微元, 不是"电流强度/电流的微元"!

矢量模式下的公式:

\[ \mathrm dB=\frac{\mu_0}{4\pi}\frac{I}{r^2}\mathrm d l\times \widehat{r} \]

也就是说, 方向是 \(l\) 电流元和 \(r\) 从电流元指向所求点位置的叉乘.

例 16 推导距离无限长直导线 \(\rho\) 处的磁场强度

Tip

从上面的推导中不难看出, 积分替换 \(l=\rho \tan\theta\) 是最为关键的一步.

例 17 已知点\(A\), 推导距圆型导线 \(O\) (半径为 \(R\))圆心 \(\rho\) 且 \(OA\) 垂直于圆形导线所在平面处的磁场强度.

Tip

例 18 有两根无限长直导线相距 \(2R\), 其间通过半径 \(R\) 的半圆导线相连, 三部分共载电流 \(I\), 方向为: 从左导线上来, 经过半圆形导线到右导线下去. 求半圆形圆心处的磁场强度.

Tip

4. 磁偶极子的磁矩#

首先给出公式:

\[ \vec{m}=I\vec{S} \]

针对对象是环路电流(封闭曲线). \(I\) 是环路的电流大小, \(\vec{S}\) 的大小是封闭环路构成的封闭平面的面积, 方向通过对 \(I\) 做右手定则确定(和高中时期通过电流判断磁场方向的方式一致).

具体而言, 其实质上就是格林公式展开的结果. 我们对于一个环路:

\[ m=\frac{I}{2}\oint_Lr\times \mathrm d r \]

若有 \(N\) 匝, 则变化为:

\[ \vec{m}=NI\vec{S} \]

例 19 一个圆形电流环, 电流方向从电流环的正上方向下看为顺时针, 求磁矩的方向.

Tip

利用高中时期就学过的右手定则, 显然是垂直于纸面向里的.

4.1 甲-2018-10#

从经典观点来看, 氢原子可看作是一个电子绕核作高速旋转的体系. 已知电子和质子的电荷分别为 \(-e\) 和 \(e\), 电子质量为 \(m_e\), 氢原子的圆轨道半径为 , 电子作平面轨道运动, 则电子轨道运动的磁矩为多少?

Tip

首先用量纲分析和直接推导, \(I=\frac{\Delta Q}{\Delta t}\), 就是"单位时间内电荷量出现的个数", 翻译到本题微观条件下就是"单位时间中点电荷在相同位置的出现次数". 因此, \(m\) (也可以写作 \(p_m\)) 有: \(m=Sef\), 其中\(e\) 是单位电荷的电荷量, \(f\) 是相同位置出现电荷的频率(单位: \(Hz\)), \(S\) 是点电荷绕的面积大小. 基于此即可求解:

5. 低速运动电荷的磁场和电场(微观条件下的毕奥-萨伐尔定律)#

前面我们讨论的是宏观情况下的毕奥-萨伐尔定律, 接下来我们重新分析微观下的情况.

电场, 在 \(v\ll c\) 的前提下(即"低速"), 与静电场结论无异.

磁场, 毕奥-萨伐尔定律变为粒子形式:

\[ B=\frac{\mu_0}{4\pi}\frac{q\vec{v}\times \widehat{r}}{r^2} \]

这里用到了电流的原始表达式将电流乘以电流元的形式转换为单个带电粒子的形式:

\[ I=vqnS \]

其中 \(S\) 是截面面积, \(n\) 是单位体积中的电荷量, \(v\) 是电荷的移动速率, \(q\) 是单位电荷量.

因此, 除了 \(v\) 还是那个 \(v\) (即两表达式中 \(v\) 的物理意义都是电荷的移动速度),对于 \(vnS\), 就是单位长度中的电荷量, 因此加以积分就是总的电荷量.

5.1 甲-2018-11#

两个电子在同一平面内沿互相垂直的方向运动, 速度分别为 \(v = 3.0 \times 10^6 \text{ m/s}\) 和 \(v' = 1.0 \times 10^6 \text{ m/s}\); 当它们运动到图示位置且相距为 \(8.0 \times 10^{-11} \text{ m}\) 时, 图示下方电子作用在上方电子的磁力为多少? 上方电子作用在下方电子的磁力又为多少?

Tip

另外,上面对下面的电子没有作用力, 因为 \(\widehat r\) 与 \(v'\) 平行.

6. 磁场条件下的高斯定律与安培环路定律#

磁场中的高斯定律表述为: 对于任意闭合曲面, 恒有:

\[ \iint_{\Sigma}B\,\mathrm d S=0 \]

Note

磁场中的高斯定律反映了磁场无源场的特性, 而电场中的高斯定理反映了电场有源场的特性.

安培环路定律表述为: 在静磁场中, 沿任意闭合环路的磁感应强度 B 的环路积分等于真空磁导率乘以该环路所包围的总电流. 公式为:

\[ \oint_L B\,\mathrm d l=\mu I_{\mathrm{enclosed}} \]

真空条件下, \(\mu=\mu_0\).

Note

安培环路定律反映了磁场环流积分不为 \(0\) (有旋), 也就是说磁场不是有势场. 与之相对的是, 电场是典型的有势场.

例 20 求距一大小为 \(I\) 的无限长直电流 \(r\) 处的磁场强度.

Tip

考虑到环路上的 \(B\) 是等大并且方向与 \(\mathrm d l\) 相同, 都是切线方向, 因此最终计算结果为:

\[ B=\frac{\mu_0 I}{2\pi r} \]

例 21 设存在一单位长度下匝数为 \(n\) 的无限长理想空心螺线管, 上面通有电流 \(I\), 求其螺线管中心轴上任意一点的磁场强度.

Tip

注意上面的解析中存在一个可能误解人的地方. 我们围出的那个四边形中, 上下两条边并不是真的 \(B=0\), 而是因为一般我们认为通电螺线管中的磁场强度方向都与通电螺线管中轴平行, 因此方向积分时因为此部分在水平方向分量为 \(0\), 所以写作 \(B=0\).

例 22 设一半径为 \(R\) , 电荷面密度为 \(\sigma\) 的无限长非导体薄壁圆筒均匀带电, 以角速度 \(\omega\) 绕圆筒中心轴旋转, 试求圆筒内距离转轴 \(r\) 处的磁感应强度大小.

Tip

等价于无数个电流线绕着转筒中心轴转.

Note

诶, 好奇心强的同学在做了这些题之后一定会疑惑, 为什么可以把外部的磁场大小看作 \(0\) 呢? 有些小聪明(比如博主我)觉得用安培环路定律就可以解决了. (错误)证明如下:

这时候博主很开心, 打算进一步证明在实际情况下的外部磁场大小. 但一上来就碰到了问题:

好吧, 如果无限延长下去, 整个平面的磁场强度都是 \(0\) 了. 再进一步, 我们变一变 \(h\), 那么整个外部世界磁场强度不都成了 \(0\) 吗?

当时博主直接懵了, 甚至想问问老师了. 但正所谓当局者迷, 旁观者清, 我记笔记的同时回头看了一眼之前的题目, 立刻明白了问题所在. 很简单但是我确实没有注意到的一点, 就是少标了 4 个点, \(e\), \(f\), \(g\), \(h\):

前面所有的推导都是基于这样一个假设进行的: \(ae\), \(bf\), \(gc\), \(hd\) 段在垂直于螺线管中心轴的方向上没有分量. 而这一点假设在后面都没有得到证明. 换言之, 这一证明过程从一开始就是错的.

那么如何正确地证明呢? 答案是回到毕奥萨伐尔定律. 这一证明过程真的非常复杂, 私以为非物理专业的同学没必要去看一遍(当然我也没看). 具体证明过程放在这儿咯: 为什么无限长通电螺线管外磁场为零？ - 知乎

例 23 设存在一无限大的平面, 平面上均匀分布着密度为 \(\sigma\) 的面电流, 已知电流朝向都相同且平行于平面. 求解此时平面外的磁感应强度 \(B\) 大小.

Tip

7. 安培定律求解电流线的安培力#

  • 微观状态下: 就是洛伦兹力, \(F=qvB\).

  • 宏观状态下: 利用好 \(\mathrm d\, F=I\mathrm d l \times B\) (其中 \(l\) 和 \(B\) 都是矢量)

例 24 推导匀强磁场中一段带电流 \(I\), 长度为 \(l\) 导线所受的力.

Tip

例 25 已知两个相距 \(d\) 的无限长直导线, 电流分别为 \(I_1\), \(I_2\), 求解其中一个导线电流元所受到的安培力.

Tip

8. 求解电流线圈在磁场中的力矩 \(M\) (简称磁力矩)#

前面已经知道磁矩公式: \(p_m=nIS\) (即所谓的"磁对于电流作用的矩"), 而力矩 \(M\) 则可以基于此表达为:

\[ M=p_m\times B \]

其中 \(p_m\) 和 \(B\) 都是矢量. 大小求解公式:

\[ M=p_mB\sin\theta=nISB\sin\theta \]

其中 \(\theta\) 的物理意义是 \(S\) 与 \(B\) 的夹角. 判断方式为右手定则.

8.1 甲-2018-12#

如图所示, 在电流密度为 \(j\) 的均匀载流无限大平板附近, 有一载流为 \(I\), 半径为 \(R\) 的半圆形刚性线圈, 其线圈平面与载流大平面垂直, 线圈所受磁力矩为多少?

Tip

本题的关键: 其一, 知道无限大平板附近的磁场分布; 其二, 知道磁力矩方向究竟如何判断. 尤其是后者, 磁力矩的方向和电流的方向是相同的(本题中的情况就是垂直于纸面向里, 而恰巧无限大平板产生的磁力矩方向与之贡献, 因此磁力矩直接为 \(0\)).

答案: \(0\).

9. 求解电子绕原子核圆周运动的等效电流#

实际上只需要用到公式 \(I=\frac{\Delta q}{\Delta t}\) 即可. 换言之, 单位时间内有多少个电子通过.

例如, 设电子圆周运动周期为 \(T\), 则该电子产生电流为 \(I=\frac{e}{T}\). 相应的, 可以求出如磁矩 \(p_m=IS=\frac{e}{T}\pi R^2\). 自然, 若只知道角速度 \(\omega\), 亦可求解得到 \(p_m=\frac{1}{2}\omega e R^2\).

Comments