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Chap III 物质中的磁场#

1. 磁介质的磁化以及磁化强度的定义#

对比电极化强度. 原始定义为: \(M=\frac{\sum p_m}{\Delta V}\), 即"磁化强度指介质磁化后单位体积内分子磁矩的矢量和". 特别地, 对于真空: \(M=0\). 注意, 磁化强度的单位是 \(A/m\).

总结: 对于均匀磁化, 介质内的磁化强度大小就等于磁化电流的线密度的大小.

显然, 对于磁化强度 \(M\), 结论可以进一步增强为:

\[ \oint_L M\cdot \mathrm d l=\sum_L j_m \Delta l=I_m \]

当然, 方向关系也很重要:

\[ \vec j_m=\vec M\times \widehat{n} \]

2. 介质下的安培环路定律#

首先, 根据原始的安培环路定律, 应当有:

\[ \oint_L B'\cdot \mathrm d l=\mu_0(\sum I+\sum I_m)=\mu_0(\sum I_0+\oint_L M\cdot \mathrm d l) \]

其中 \(B'=B+B_m\), \(B_m\) 是介质激发产生的磁场, 此处的加法指的是矢量加; \(I\) 指外加电流. 对上式进一步变形, 可以得到:

\[ \oint_L(\frac{B'}{\mu_0}-M)\cdot \mathrm d l=\sum I \]

我们引入一个新的物理量, 磁场强度 \(H\):

\[ H=\frac{B'}{\mu_0}-M \]

于是我们得到了磁介质中的安培环路定律:

\[ \oint_LH\cdot \mathrm d l=\sum I \]

自然, 也有类似于电位移矢量(\(D\)), 极化强度(\(P\))和电场强度 \(E\) 之间的关系(矢量合成):

\[ B'=\mu_0 H+\mu_0 M=\mu_0( H+ M) \]

对于各向同性的均匀磁介质, 有: \(M=\chi_m H\). 其中 \(\chi_m\) 表示磁化率, 我们称 \(\chi_m>0\) 的为顺磁质, \(\chi_m<0\) 的为抗磁质. 进一步:

\[ B'=\mu_0(1+\chi_m)H \]

关于磁导率 \(\mu\):

$$ \mu=\mu_r\mu_0 $$ 最终最重要关系式(\(B\), \(H\), \(M\), 类比于 \(E\), \(D\), \(P\), 但是考虑到 \(H\) 与 \(M\) 一般同向):

\[ B=\mu_0(H+M) \]

与之相对应的是:

\[ E=\frac{1}{\varepsilon_0}(D-P) \]

2.1 甲-2018-IV#

如图所示, 一磁导率为 \(\mu_1 \,(>\mu_0)\) 的无限长圆柱形导体半径为 \(R_1\), 其中均匀地通有电流 \(I\), 方向垂直向里; 导体外包一层磁导率为 \(\mu_2 \,(>\mu_1)\) 的同轴圆筒形不导电的磁介质, 其外半径为 \(R_2\); 外部是真空. 试求: (1) 磁场强度和磁感应强度的空间分布; (2) 半径为 \(R_2\) 处介质表面的磁化电流线密度的大小和方向、总磁化电流强度.

Tip

第(1)问很简单, 直接利用安培环路定律和 \(\oint_L H\Delta l=\sum I\) 即可. 对于第(2)问:利用好公式 \(B=\mu_0(H+M)\) 以及 \(\vec j_m = \vec M\times \widehat{n}\) 即可.

利用 \(B\cdot 2\pi R_2=\mu_2 I\), 知道 \(B=\frac{I\mu_2}{2\pi R_2}\); 利用 \(H\cdot 2 \pi R_2=I\), 回代入前面的 \(B-H-M\) 关系式, 知道: \(\frac{I\mu_2}{2\pi R_2}=\frac{I\mu_0}{2\pi R_2} +\mu_0 M\). 因此 \(M=\frac{I}{2\pi R_2}(\frac{\mu_2}{\mu_0}-1)\). 关于方向性问题, \(\widehat n\) 表示的是从激发 \(M\) 的介质指向外部(磁化侧指向未被磁化侧)的单位向量, \(\vec M\) 和 \(\vec H\) 直接做加表示同向, 因此叉乘最后得到 \(j_m=M=\frac{I}{2\pi R_2}(\frac{\mu_2}{\mu_0}-1)\), 方向垂直于纸面向里. 总磁化电流强度 \(\sum I_m\) 直接用 \(j_m\cdot 2\pi R_2=(\frac{\mu_2}{\mu_0}-1)I\).

Note

关于顺磁性和抗磁性: 顺磁性介质就是 \(M\) 与 \(H\) 同向的介质, 抗磁性介质就是 \(M\) 与 \(H\) 反向的介质.

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