Skip to content

Chap VI 平面力系#

1. 基本定理#

1.1 力偶, 力矩, 主矢, 主矩#

  • 牢记, 力矩计算公式矩在前力在后:
\[ \overrightarrow{M}=\overrightarrow{r}\times \overrightarrow{F} \]
  • 力偶矩与矩心的选择无关.
  • 力偶矩可在其作用平面内任意转移
  • 平面内任意一点的力都可以移动到另一点, 并附加一个力偶.
  • 平面力系的所有力最终都可以简化为一个力(主矢)和一个力偶(主矩), 表达为:
\[ \begin{cases} \overrightarrow{F_R'} = \sum_{i=1}^n \overrightarrow{F_i}\\ \overrightarrow {M_R' }=\sum_{ i=1}^n \overrightarrow{M_i} \end{cases} \]
  • 无论以哪个作为参考点简化为一个力和一个力偶, 主矢都保持不变; 与此同时, 主矩会发生变化. 前者是显而易见的, 对于后者, 我们前面已经提到, 力在平面力系中的平移可以等价为一个同样的力和力偶, 因此主矩肯定会发生变化.

1.2 静定, 静不定/超静定#

  • 在平面系统中, 由 \(n\) 个物体组成的物体系, 总共有不多于 \(3n\) 个独立的平衡方程, 且分别为:
\[ \begin{cases} \sum_{i=1}^n \overrightarrow{F_{i_x}} = 0 \\ \sum_{i=1}^n \overrightarrow{F_{i_y}} = 0 \\ \sum_{i=1}^n \overrightarrow{M_i} = 0 \end{cases} \]

也就是 \(x\), \(y\), 方向三个刚体的自由度.

  • 静定问题: 未知约束反力的数目小于等于独立平衡方程的数目
  • 超静定/静不定问题: 未知约束反力的数目大于独立平衡方程的数目(需要结合材料力学等方程求解)

2. 习题#

2.1 ex1#

已知: \(P\), \(m\), \(q_0\), 求支座 \(A\), \(B\) 的约束反力

Note

一段连续作用力可以利用力矩等效为某一点的力的作用(即合力矩定理, \(\overrightarrow {M(F_r)}=\sum_{i=1}^n \overrightarrow {M(F_i)}\)), 解决方法类似于质心的求解. 本题据此可解.

2.2 ex2#

已知: \(P=10kN\), \(q=10kN/m\), \(M=20kN\cdot m\), \(A\) 点固结在墙面上, \(B\) 是一处铰链, 系统恰好维持在图中的平衡情况. 求: \(A\) 之约束反力.

Note

\(A\) 固结在墙面上, 因此 \(A\) 点所受之力不但包括 \(F_{N_x}\), \(F_{N_y}\), 还包括一个外力偶, 产生效果为一个大小与参考点无关的力矩 \(\overrightarrow {M_A}\). 简言之, 阻碍刚体转动的作用点还会产生一个与转动趋势方向相反的力偶.

2.3 ex3#

已知: \(q_1 ＝4kN/m\), \(P＝2kN\), \(q_2 ＝2kN/m\), \(m＝2kN⋅m\)

求: (1)固定端 \(A\) 与支座 \(B\) 处的约束反力; (2)销钉 \(C\) 所受的力

Note

与上一问差不多, 这里不给出具体计算. 另外, 第(2)问中直接默认 \(C\) 处钉销只受到竖直方向的力, 是因为 \(BC\) 处保持受力平衡必须满足 \(C\) 不给 \(x\) 方向的力. 将 \(P\) 视作作用在 \(C\) 上对求解没有影响, 只是这样会让方程变得更复杂(将 \(P\) 视作作用在 \(C\) 处钉销后, 分析 \(BC\) 部分时 \(P\) 的作用自然包含在了 \(C\) 对 \(BC\) 的作用中)

2.4 ex4#

已知: \(P\), \(AD＝DB＝a\), \(AC＝d\), 半径 \(R\). 求: \(A\), \(C\) 处的约束反力.

Comments