Chap I 点的运动学
1. 自然轴系
1.1 已知空间曲线 \(x=x(t), y=y(t), z=z(t)\), \(t\) 为时间, 求 \(t\) 时刻密平面的单位法向量.
根据定义, 密平面的单位法向量 \(\vec{b}\) 为(其中 \(\vec{A}\) 表示 \(t\) 时刻的速度, \(\vec{A'}\) 表示 \(t+\Delta t\) 时刻的速度):
\[ \vec{b}=\lim_{\Delta t\rightarrow0}unit(\vec{A}\times\vec{A'}) \]
原式可转化为行列式表达:
\[ \begin{align*} \vec{b}&=\lim_{\Delta t\rightarrow0}unit((x'(t),y'(t),z'(t))\times(x'(t+\Delta t),y'(t+\Delta t),z'(t+\Delta t)))\\ &={\begin{vmatrix} i &j &k \\ x'(t) &y'(t) &z'(t) \\ x'(t+\Delta t) &y'(t+\Delta t) &z'(t+\Delta t) \end{vmatrix}} \end{align*} \]
对于微元 \(\Delta t\), 我们可以选择泰勒展开解决:
\[ x'(t+\Delta t)=x'(t)+\frac{x''(t)}{1!}\Delta t+\frac{x'''(t)}{2!}\Delta t^2+\cdots \]
同时, 在表达式中只考虑最高小阶, 忽略高阶项, 因此 \(x'(t+\Delta t)=x'(t)+\frac{x''(t)}{1!}\Delta t=x'(t)+x''(t)\Delta t\). 基于此, 我们可将原行列式转化为:
\[ \begin{vmatrix} i &j &k \\ x'(t) &y'(t) &z'(t) \\ x'(t)+x''(t)\Delta t &y'(t)+y''(t)\Delta t &z'(t)+z''(t)\Delta t \end{vmatrix} \]
利用行列式的性质, 消掉第三行的一阶导数项, 并提取出 \(\Delta t\):
\[ \begin{vmatrix} i &j &k \\ x'(t) &y'(t) &z'(t) \\ x''(t) &y''(t) &z''(t) \end{vmatrix}\Delta t \]
因为 \(unit()\) 单位化函数, 我们可以去掉系数项 \(\Delta t\). 上述表达式最终计算结果为:
\[ \vec{b}=\frac{(y'z''-y''z')i+(x''z'-x'z'')j+(x'y''-x''y')k}{\sqrt{(y'z''-y''z')^2+(x''z'-x'z'')^2+(x'y''-x''y')^2}} \]
1.2 给出自然轴系下点的速度和加速度公式.
下面的 \(\vec{\tau}\) 表示速度的方向向量, 表示主法向量的方向向量.
对于速度 \(\vec{v}\) 公式
\[ \vec{v}=\frac{d\vec{r}}{dt}=\frac{d\vec{r}}{dS}\cdot\frac{dS}{dt}=\vec{\tau}\cdot v \]
对于加速度 \(\vec{a}\) 稍微复杂
\[ \vec{a}=\frac{d\vec{v}}{dt}=\frac{d(\vec{\tau}\cdot v)}{dt}=\frac{d\vec{\tau}}{dt}v+\frac{dv}{dt}\vec{\tau} \]
对于 \(\vec{\tau}\), 我们分为大小和方向分别分析. 作图后发现, 方向而言显然与 \(\vec{\tau}\) 垂直, 并且恰好与主法线方向一致, 因此其方向为 \(\vec{n}\)(效果类似于 \((i,j,k)\)). 对于大小, 显然有: \(|\Delta \vec{\tau}|=2\sin{\frac{\Delta \phi}{2}}=\Delta \phi=\frac{\Delta r}{\rho}\). 因此, 原式代回计算得到:
\[ \vec{a}=\frac{vdr}{\rho dt}\vec{n}+\frac{dv}{dt}\vec{\tau}=\frac{v^2}{\rho}\vec{n}+\frac{dv}{dt}\vec{\tau} \]
1.3 已知空间曲线 \(x=x(t)\), \(y=y(t)\), \(z=z(t)\), 确定该曲线上某点 \(t\) 处的曲率半径 \(\rho\).
根据定义求解即可:
\[ \rho=\frac{\Delta r}{\Delta \phi}=\frac{\Delta r}{\sin \Delta \phi}=\frac{\Delta r|A||A'|}{|A\times A'|}=\frac{\sqrt{(x')^2+(y')^2+(z')^2}\Delta t|A||A'|}{|A\times A'|} \]
对于 \(A\times A'\), 其计算结果参考前述答案即可:
\[ \begin{vmatrix} i &j &k \\ x'(t) &y'(t) &z'(t) \\ x''(t) &y''(t) &z''(t) \end{vmatrix}\Delta t \]
这样即可消除 \(\Delta t\), 同时 \(|A'|\) 式子中的 \(\Delta t\) 在其他部分 \(\Delta t\) 小量消除的情况下可以直接视作 \(0\). 换言之, 最终计算结果为:
\[ \frac{((x')^2+(y')^2+(z')^2)^{\frac{3}{2}}}{|A\times A'|} \]
2. 摆线
Note
以下所有计算过程都是基于匀速运动进行的, 主要关注思路, 变速情况下可能会发生改变!!!
半径为 \(r\) 的车轮沿着固定水平轨道滚动而不滑动. 设轮缘上一点 \(M\), 在初始瞬间与轨道 \(O\) 点重合; 在瞬时 \(t\), 半径 \(MC\) 与轨道的垂涎 \(HC\) 形成交角 \(\phi=\omega t\), 其中 \(\omega\) 是常量. 试解决下面的这些问题
2.1 求 \(M\) 点的运动方程
2.2 求瞬时速度和加速度
2.3 求 \(M\) 点的切向加速度和法向加速度
2.4 求轨迹的最大曲率半径
