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Chap II 刚体的简单运动学#

1. 刚体的平动#

1.1 简单平动例题#

已知: \(\phi=\phi_0\sin{\frac{\pi}{4}t}\) 与 \(l\), 求: 当 \(t=2s\) 时 \(M\) 点的速度, 加速度

2.1.1参考答案

2. 刚体的定轴转动#

2.1 简单定轴转动#

已知: \(O_1A=O_2B=l=4m\), \(O_1O_2=AB\), 曲柄的转动规律 \(\phi=4\sin\frac{\pi}{4}t\), 其中 \(t\) 为时间, 以 \(s\) 计. 试求当 \(t=0\) 和 \(t=2s\) 时, 半圆上 \(M\) 点的速度和加速度, 以及圆盘的加速度.

2.2.1 参考答案

2.2 复合定轴转动#

已知: \(O_1A=O_2B=2r\), \(\omega_0\) 是一个常数, 齿轮半径均为 \(r\), 且 \(O_1O_2=AB\), 求: 轮 \(I\) 与轮 \(II\), 轮缘上任意一点的加速度.

2.2.2 参考答案

2.3 绕定轴转动的一般形式#

已知某刚体以瞬时角速度 \(\omega\) 绕固定轴 \(OZ\) 转动. 证明: 固结在刚体上的动坐标系 \(o'x'y'z'\) 的单位矢量对时间的导数为:

\[ \frac{\mathrm d\vec{i'}}{\mathrm dt} = \vec{\omega}\times \vec{i'},\ \frac{\mathrm d\vec{j'}}{\mathrm dt} = \vec{\omega}\times \vec{j'},\ \frac{\mathrm d\vec{k'}}{\mathrm dt} = \vec{\omega}\times \vec{k'} \]

(用定义即可)

2.2.3 参考答案

\[ \begin{align*} \frac{\mathrm d\vec{i'}}{\mathrm dt}=\frac{\mathrm d(\vec{r_{o'}}-\vec{r_A})}{\mathrm dt}=\frac{\mathrm d\vec{r_{o'}}}{\mathrm dt}-\frac{\mathrm d\vec{r_A}}{\mathrm dt}=\vec{\omega}\times(\vec{r_{o'}}-\vec{r_A})=\vec{\omega}\times \vec{i'} \end{align*} \]

上面用到的最关键的公式如下. 对于任意绕某一定轴转动的物体, 其上任意一点都满足:

\[ \frac{\mathrm d\vec{r}}{\mathrm dt}=\vec{\omega}\times\vec{r} \]

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